ELASTICIDAD

La elasticidad es estudiada por la teoría de la elasticidad, que a su vez es parte de la mecánica de sólidos deformables. La teoría de la elasticidad (TE) como la mecánica de sólidos (MS) deformables describe cómo un sólido (o fluido totalmente confinado) se mueve y deforma como respuesta a fuerzas exteriores. La diferencia entre la TE y la MS es que la primera sólo trata sólidos en que las deformaciones son termodinámicamente reversibles y en los que el estado tensiones en un punto en un instante dado dependen sólo de las deformaciones en el mismo punto y no de las deformaciones anteriores (ni el valor de otras magnitudes en un instante anterior).

Esfuerzo :

es la magnitud de la fuerza por unidad de area que causa la deformación de los cuerpos.

Deformación: 

 es el cambio en el tamaño o forma de un cuerpo por acción del esfuerzo,debido a esfuerzos internos producidos por una o más fuerzas aplicadas sobre el mismo o la ocurrencia de dilatación térmica.

- si el esfuerzo y la deformación son pequeños, entonces seran directamente proporcionales y la constante de proporcionalidad recibe el nombre de módulo de elasticidad.

       esfuerzo / deformación = módulo de elasticidad

Esfuerzo de tensión :

La fuerza neta que actua sobre el on¿bjeto es nula,pero el objeto se deforma.

Se define esfuerzo como el cociente de la fuerza perpendicular al area y el area.

    

                     fuerza de tensión = Ft/A

•   Unidades en el SI:

                  1 pascal = 1Pa = 1 N/m 2

Debido a la acción de la fuerza el sólido sufre una deformación  I - Io

Definimos la deformación por tensión:

• La deformación por tensión es el estiramiento por unidad de longitud y es una cantidad adimensional.

• Experimentalmente se comprueba que si el esfuerzo de tensión es pequeño,entonces el esfuerzo y la deformación son proporcionales, y la constante de proporcionalidad se denomina Módulo de Young   .
• Módulo de Young: Mide la resistencia de un sólido a un cambio en su longitud

esfuerzo por comprensión:

• Si las fuerzas empujan en lugar de tirar en  los extremos del sólido, el cuerpo se contraerá y el esfuerzo es un esfuerzo de compresión, y la deformación producida será por compresión.

---> El módulo de Young para muchos materiales tienen el mismo valor para esfuerzos de tensión y compresión; los materiales compuestos como el hormigón y concreto son una excepción.

Esfuerzo y tensión de corte

La fuerzas de igual magnitud pero dirección opuesta actúan de forma tangente a las superficies de extremos opuestos del objeto. Produciéndole una deformación.

Se define el esfuerzo de corte como la fuerza paralela que actúa tangente a la superficie , dividida entre el área sobre la que actúa:

Ec (esfuerzo de corte) también es una fuerza por unidad de área.

 Esfuerzo de corte

Una cara del objeto sometido a esfuerzo de corte se desplaza una distancia x relativa a la cara opuesta. Se define la deformación de corte como el cociente del desplazamiento x entre la dimensión transversal h :

• Si el esfuerzo de corte es pequeño entonces el esfuerzo y la deformación son proporciónales y la constante de proporcionalidad se denomina Módulo de corte S
• Módulo de corte : Mide la resistencia al movimiento de los planos dentro de un sólido, paralelos unos con otros.

Esfuerzo y tension por volumen

Si un objeto se sumerge en un fluido (liquido o gas) en reposo, el fluido ejerce una fuerza sobre todas las partes de la superficie del objeto. Esta fuerza es perpendicular a la superficie. La fuerza por unidad de área que el fluido ejerce sobre la superficie de un objeto sumergido es la presión p en el fluido.

La presión dentro de un fluido aumenta con la profundidad, pero si el objeto sumergido es suficientemente pequeño, podremos asumir que la presión tiene el mismo valor para todos los puntos en la superficie del objeto.

La presión desempeña el papel del esfuerzo en un cambio de volumen. La deformación correspondiente es el cambio fraccionario del volumen.

Esfuerzo y deformación por volumen



Experimentalmente se comprueba que si el esfuerzo de volumen es pequeño entonces el esfuerzo y la  deformación son proporcionales, y la constante de proporcionalidad se denomina Módulo de volumen B .

• Módulo Volumétrico: Mide la resistencia de los sólidos o líquidos a cambios en su volumen.

En el caso de cambios de presión pequeños en un sólido o un liquido, consideramos B constante. El módulo de volumen de un gas, sin embargo depende de la presión inicial po

comprensibilidad:
el valor reciproco del módulo de volumen se denomina comprensibilidad y se denota por K

Curva fuerza :

Deformación de un acero: La curva tiene una primera parte lineal llamada zona elástica, en donde la probeta se comporta como un resorte: si se quita la carga en esa zona, la probeta regresa a su longitud inicial.

Cuando la curva se desvía de la recta inicial, el material alcanza el punto de fluencia, desde aquí el material comienza a adquirir una deformación permanente. A partir de este punto, si se quita la carga la probeta quedaría más larga que al principio; y se define que ha comenzado la zona elástica del ensayo de tracción El valor límite entre la zona elástica y la zona plástica es el punto de fluencia. 

 Luego de la fluencia sigue una parte inestable, que depende de cada acero, para llegar a un máximo en que la probeta se alarga en forma permanente y repartida, a lo largo de toda su longitud; así la probeta muestra su punto débil, concentrando la deformación en una zona en la cual se forma un cuello.   La deformación se concentra en la zona del cuello, provocando que la carga deje de subir. Al adelgazarse la probeta la carga queda aplicada en menor área, provocando la ruptura.    

Mecánica del cuerpo rígido

Cuerpo rígido

Un cuerpo rígido se define como aquel que no sufre deformaciones por efecto de fuerzas externas, es decir un sistema de partículas cuyas posiciones relativas no cambian. Un cuerpo rígido es una idealización, que se emplea para efectos de estudios de Cinemática, ya que esta rama de la Mecánica, únicamente estudia los objetos y no las fuerzas exteriores que actúan sobre de ellos.

 representa cualquier cuerpo que no se deforma; para fines de movimiento se puede suponer que el neumático de un automóvil es un cuerpo rígido.

El movimiento de cuerpo rígido, se analizará considerando que la tierra se encuentra en reposo total, es decir no tiene movimiento de rotación ni de traslación

El movimiento de cuerpo rígido, se puede explicar con las tres leyes de Newton y la ley de Coulomb.

Para desplazamientos de un cuerpo rígido en un plano, las cuestiones son mas simples pues es bastante evidente que un cambio de posición de un cuerpo rígido en un plano, puede ser logrado de modo equivalente mediante una traslación paralela seguida de una rotación en tordo a un punto fijo, o bien la rotación seguida de la traslación.

En el movimiento plano de un cuerpo rígido, siempre existe un punto de el (o de una extensión rígida de el) que tiene velocidad instantánea nula y en consecuencia el movimiento equivale a una pura rotación instantánea del cuerpo en torno de ese punto. Tal punto se conoce como centro instantáneo de rotación.

En el movimiento de un cuerpo rígido siempre existe un punto de él, o de una extensión rígida del cuerpo, que tiene velocidad instantánea cero. Esto significa que en todo instante el cuerpo esta moviéndose como si solamente rotara respecto a ese punto, pero ese punto en general se mueve, de manera que el centro instantáneo describe un cuerpo. El movimiento de ese punto puede ser mirado desde un sistema fijo y en ese caso la curva que describe se denomina curva riel. Si el movimiento de ese punto es observado desde un sistema de referencia fijo al cuerpo, la curva que se observa, se denomina curva rueda.

movimiento del cuerpo rígido

el movimiento del cuerpo rigido, en el caso planar, se puede describir de la suigiente manera:

 traslacion y rotacion de cuerpos

Un cuerpo se traslada cuando todos sus puntos se mueven paralelamente y con la misma velocidad, tal como se ilustra en la figura 1a. Un cuerpo rota cuando todos sus puntos giran alrededor de un mismo eje (llamado eje de rotación) con la misma velocidad angular, tal como se ilustra en la figura 1b (en este caso el eje de rotación es perpendicular al plano representado por la hoja de papel que estamos observando y pasa por el

 punto O). En general el movimiento del cuerpo será una combinación de ambos.

tralacion

Una traslación es la operación que modifica las posiciones de todos los cuerpos según la fórmula:

donde se cumple

rotacion:

Rotación es el movimiento de cambio de orientación de un cuerpo o un sistema de referencia de forma que una línea (llamada eje de rotación) o un punto permanece fijo.

Una rotación de un cuerpo se representa mediante un operador que afecta a un conjunto de puntos o vectores. Un movimiento rotatorio se representa mediante el vector velocidad angular W, que es un vector de carácter deslizante, situado sobre el eje de rotación. Cuando el eje pasa por el centro de masa o de gravedad se dice que el cuerpo «gira sobre sí mismo».

segun la formula:

Cuando el cuerpo está en traslación pura (o cuando el intereses en analizar su movimiento de traslación), se puede asumir como si fuera una partícula. Son ejemplos:

- Un esquiador deslizándose por una montaña (figura 2a).

- Un ciclista trasladándose (en cuyo caso no hay interés en lo que pasa con la bicicleta, sino con el sistema como u

n todo - figura 2b -).

- El análisis de la traslación de la tierra  alrededor del sol (en este caso la tierra se consideraría una partícula).

En el caso de querer estudiar la rotación del cuerpo no se puede asumir como una partícula. En la figura 3a se ilustra la rotación del planeta Tierra alrededor de su eje (eje que pasa por los polos). En la figura 3b se ilustra la transmisió

n de movimiento de rotación entre dos piñones.

Un cuerpo sólido rígido realiza un movimiento de traslación cuando, considerando un segmento entre dos puntos A y B del cuerpo, éste se mantiene siempre paralelo a sí mismo, durante todo el movimiento. Considerando el cuerpo rígido como un conjunto continuo de puntos materiales, cada punto material describirá, en el movimiento, una trayectoria determinada y a todos los demás puntos materiales describirán trayectorias equidistantes entre sí.

Movimiento complejo de un sólido rígido, que presenta precesión alrededor de la dirección del momento angular además rotación según su eje de simetría

 momento de inercia

El momento de inercia (símbolo I) es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Cuando un cuerpo gira en torno a uno de los ejes principales de inercia, la inercia rotacional puede ser representada como una magnitud escalar llamada momento de inercia. Sin embargo, en el caso más general posible la inercia rotacional debe representarse por medio de un conjunto de momentos de inercia y componentes que forman el llamado tensor de inercia. La descripción tensorial es necesaria para el análisis de sistemas complejos, como por ejemplo en movimientos giroscópicos.

El momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo o de un sistema de partículas en rotación, respecto a un eje de giro. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento.

El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un sólido rígido.

Una bailarina tendrá más momento de inercia si extiende los brazos, girando más rápido si los contrae.

Teorema de Steiner o teorema de los ejes paralelos

El teorema de Steiner (denominado en honor de Jakob Steiner) establece que el momento de inercia con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa por el centro de masa, es igual al momento de inercia con respecto al eje que pasa por el centro de masa más el producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes:

I_eje =  I^(CM)_eje + MH^2

donde: I_eje es el momento de inercia respecto al eje que no pasa por el centro de masa; I^(CM)_eje es el momento de inercia para un eje paralelo al anterior que pasa por el centro de masa; M (Masa Total) y h (Distancia entre los dos ejes paralelos considerados).

La demostración de este teorema resulta inmediata si se considera la descomposición de coordenadas relativa al centro de masas C inmediata:

Aplicación importante del sistema de partículas

      Choques o colisiones

El choque se define como la colisión entre dos o más cuerpos, pero también puede definirse como una excitación física.

Un choque físico o mecánico es percibido por una repentina aceleración o desaceleración causada normalmente por un impacto, por ejemplo, de una gota de agua, aunque también una explosión causa choque; cualquier tipo de contacto directo entre dos cuerpos provoca un choque. Lo que mayormente lo caracteriza es la duración del contacto que, generalmente, es muy corta y es entonces cuando se transmite la mayor cantidad de energía entre los cuerpos.

Efectos de choque

La mecánica de choque tiene el potencial de dañar, deformar, etc:

• Un cuerpo frágil se puede fracturar. Por ejemplo, dos copas de cristal pueden romperse en caso de colisión una contra el otra. Una cizalla en un motor está diseñada para la fractura con cierta magnitud de choque.
• Un objeto ductil se puede doblar por una conmoción (deformar). Por ejemplo, una jarra de cobre se puede curvar cuando cae en el suelo.
• Algunos objetos no se dañan por un único choque, pero si se produce fatiga en el material con numerosas repeticiones de choques de bajo nivel.
• Un efecto de choque puede resultar sólo daños menores, que pueden no ser críticos para su uso. Sin embargo, daños menores acumulados de varios efectos de choques, eventualmente resultarán en que el objeto sea inutilizable.
• Un choque puede no producir daño aparente de inmediato, pero podría reducir la vida útil del producto: la fiabilidad se reduce.
• Algunos materiales como los explosivos se pueden detonar con mecánicas de choque o impacto.

         Choque elástico

En física, se denomina choque elástico a una colisión entre dos o más cuerpos en la que éstos no sufren deformaciones permanentes durante el impacto. En una colisión elástica se conservan tanto el momento lineal como la energía cinética del sistema, y no hay intercambio de masa entre los cuerpos, que se separan después del choque.

Las colisiones en las que la energía no se conserva producen deformaciones permanentes de los cuerpos y se denominan inelásticas.

Choque elástico de dos partículas

En la página titulada “choques frontales” estudiamos como caso particular, el choque elástico entre dos partículas. En este caso, la primera partícula lleva una velocidad u₁ y  la segunda está inicialmente en reposo u₂=0.

1        Principio de conservación del momento lineal

m₁u₁ =m₁v₁+m₂v₂

2        En un choque elástico, la energía cinética inicial es igual a la final.

Resolviendo este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, obtenemos las velocidades v₁ y v₂ después del choque

se cumple:

           Choque inelástico

Si M es la masa del bloque inicialmente en reposo, m la masa de la bala. Aplicamos el principio de conservación del momento lineal, a este sistema aislado, para obtener la velocidad inmediatamente después del choque v_f del conjunto bala-bloque en función de la velocidad  v₀ de la bala antes del choque.

mv₀=(m+M)v_f

A continuación, se efectúa el balance energético de la colisión. La variación de energía cinética es

Choque inelástico de duración finita

Mediante un modelo simple de interacción entre la bala y el bloque, vamos a explicar cómo la bala disminuye de velocidad, aumenta la del bloque hasta que ambas se igualan. También, explicaremos el origen de la diferencia de energía cinética.

A medida que la bala penetra en el bloque, la bala ejerce una fuerza F que supondremos constante sobre el bloque y su efecto será el de incrementar su velocidad.

A su vez, el bloque ejercerá una fuerza F igual y opuesta sobre la bala cuyo efecto será el de disminuir su velocidad. El choque se completará cuando la velocidad de la bala se iguale a la del bloque.

Tenemos que estudiar la dinámica de un sistema aislado formado por dos partículas que interaccionan entre sí. La interacción se describe en términos de una fuerza constante F.

Velocidades antes y después del choque

• Cuando la bala penetra, la fuerza constante F que ejerce el bloque hace que disminuya su velocidad.

v=v₀-F·t/m

• La fuerza F igual y de sentido contrario que ejerce la bala sobre el bloque hace que éste incremente su velocidad

V= F·t/M

Dado que el sistema formado por la bala y el bloque es aislado, el momento lineal total o la velocidad de su centro de masas v_cm permanece constante e igual a su velocidad inicial como podemos comprobar.

El choque finaliza cuando la velocidad v de la bala se iguala a la velocidad V del bloque, es decir en el instante t_c, medido desde el momento en el que la bala penetra en el bloque.

v₀-F·t_c/m= F·t_c/M

Se cumple:

ejemplo: Desplazamientos de la bala y del bloque

Péndulo de Newton